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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 6 – Questão 1g

Encontre a derivada da função dada.

y = cos ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Tudo na paz? Então sem mais delongas o que acontece nessa questão aqui é o seguinte: se você perceber você vê que claramente temos um polinômio para derivar, mas esse cara está elevado a uma potência, certo?

Aqui vamos de antemão fazer uso da regra da cadeia e da função trigonométrica:

cos ' ⁡ x = - s e n ( x )

Vamos lá então:

y ' = cos ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - s e n 1 - e 2 x 1 + e 2 x 1 - e 2 x 1 + e 2 x '

Passo 2

Agora vamos usar a regra do quociente nesse rolê:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

f = 1 - e 2 x → f ' = - 2 e 2 x

g = 1 + e 2 x → g ' = 2 e 2 x

Substituindo, temos:

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - 2 e 2 x 1 + e 2 x - 1 - e 2 x 2 e 2 x 1 + e 2 x 2 = - 2 e 2 x 1 + e 2 x + 1 - e - 2 x 1 + e 2 x 2

- 2 e 2 x 1 + e 2 x + 1 - e - 2 x 1 + e 2 x 2 = - 4 e 2 x 1 + e 2 x 2

Passo 3

Voltando a expressão do passo 1, temos:

y ' = - s e n 1 - e 2 x 1 + e 2 x 1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - s e n 1 - e 2 x 1 + e 2 x - 4 e 2 x 1 + e 2 x 2

y ' = 4 e 2 x 1 + e 2 x 2 s e n 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Resposta

y ' = 4 e 2 x 1 + e 2 x 2 s e n 1 - e 2 x 1 + e 2 x

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