Cálculo 1, UFMG, PSUB, 2022.1, Questão 4.b
Encontre o domínio e a lei que definem a derivada de:
Passo 1
Falaaa, belezinha?? Bora para a última questão dessa prova. Ela nos pede para que a gente ache a derivada dessa função e determine o domínio dela.
Para começarmos a fazer, vamos ter que lembrar algumas fórmulas para derivada.
Primeiro vamos lembrar a regra da cadeira, se tivermos , temos:
Além disso, temos a regra do quociente, se tivermos , temos:
Ou seja, basta aplicarmos essas fórmulas com as funções do enunciado, bora lá?
Passo 2
Bora começar aplicando a regra do quociente em
Nesse caso, veja que:
Onde:
Colocando na fórmula:
Agora, precisamos achar mas veja que para isso precisamos fazer a regra da cadeia. Bora olhar para ela
Onde
Pela regra da cadeia:
Como , temos que , ou seja:
Agora para nossa alegria apareceu outra função que não da para derivar direto, que precisamos de uma outra regra. Bora ver isso?
Passo 3
Temos que
Onde
Para achar vamos lembrar a fórmula do produto:
Se temos , temos que:
Agora bora aplicar essa regra em .
Ou seja
Agora podemos voltar para .
Ou seja
Agora conseguimos voltar para a expressão de , bora lá
Passo 4
Voltando para expressão:
Colocando que:
Ou seja:
Logo:
Por isso:
Agora basta analisar o domínio, bora lá?
Vale lembrar que o domínio são os possíveis valores de em .
Veja que a única coisa que limita os valores de dentro da expressão achada é e o denominador.
Bora analisar cada um desses casos:
De tiramos que
Olhando para tiramos que , ou seja , logo basta
E o denominador deveria ser diferente de zero, mas com as restrições acima isso já ocorre.
Ou seja, o conjunto que possui todas essas restrições é , sendo assim o domínio.
E assim terminamos mais um probleminha, bem chatinho com vários passos, mas um ótimo exercício para aprender as fórmulas de produto, quociente e regra da cadeia