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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2g

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(g) f x = sin 2 ⁡ x sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin 2 ⁡ x sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

Mas antes, vemos que podemos simplificar a função como

f x = sin 2 ⁡ x sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2 → f x = sin 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x 2

A princípio vemos que f x é composta pelo produto de funções, então para o cálculo da sua derivada temos que aplicar a regra do produto como

f x = p x · q x → f ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

No caso, p x e q x são funções compostas, portanto para calcular suas derivadas temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

p x = g h x → p ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x 2 , então aplicando a regra do produto primeiramente, temos

f ' x = d sin 2 ⁡ x d x · sin 3 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x · d sin 3 ⁡ x 2 d x

Aplicando a regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ x d x · d l x 2 d l x · sin 3 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x · d sin ⁡ x 2 d x · d m x 3 d m x

Aplicando a regra da cadeia novamente em sin ⁡ x 2 ...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d l x 2 d l x · sin 3 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x · d x 2 d x · d sin ⁡ n x d n x · d m x 3 d m x

Podemos substituir l x , m x e n x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d u 2 d u · sin 3 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x · d x 2 d x · d sin ⁡ v d v · d w 3 d w

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = cos ⁡ x · 2 u · sin 3 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x · 2 x · cos ⁡ v · 3 w 2

f ' x = 2 cos ⁡ x u sin 3 ⁡ x 2 + 6 sin 2 ⁡ x x cos ⁡ v w 2

Voltando u para sin ⁡ x , v para x 2 e w para sin ⁡ x 2 ...

f ' x = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x sin 3 ⁡ x 2 + 6 sin 2 ⁡ x x cos ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x sin 3 ⁡ x 2 + 6 sin 2 ⁡ x x cos ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2

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