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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2j

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(j) f x = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x , então h x = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x ...

f ' x = d sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x d x · d sin ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Temos que aplicar a regra da cadeia novamente na derivada de sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

f ' x = d sin ⁡ sin ⁡ x d x · d sin ⁡ q x d q x · d sin ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

E mais uma vez...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ r x d r x · d sin ⁡ q x d q x · d sin ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x , p x , q x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ r d r · d sin ⁡ q d q · d sin ⁡ p d p · d sin ⁡ h d h

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = cos ⁡ x · cos ⁡ r · cos ⁡ q · cos ⁡ p · cos ⁡ h

Voltando h para sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x , p para sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x , q para sin ⁡ sin ⁡ x e r para sin ⁡ x ...

f ' x = cos ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = cos ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

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