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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2l

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(l) f x = x 2 + x 3 + x 4 + x 5

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 , então h x = x 2 + x 3 + x 4 + x e g h x = h x 5 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x 2 + x 3 + x 4 + x d x · d h x 5 d h x

f ' x = d x 2 + x 3 + x 4 d x + d x d x · d h x 5 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de x 2 + x 3 + x 4 ...

f ' x = d x 2 + x 3 + x d x · d p x 4 d x + d x d x · d h x 5 d h x

f ' x = d x 2 + x 3 d x + d x d x · d p x 4 d x + d x d x · d h x 5 d h x

Temos que aplicar a regra da cadeia novamente na derivada de x 2 + x 3

f ' x = d x 2 + x d x · d q x 3 d q x + d x d x · d p x 4 d p x + d x d x · d h x 5 d h x

Podemos substituir h x , p x e q x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 + x d x · d q 3 d q + d x d x · d p 4 d p + d x d x · d h 5 d h

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 2 x + 1 · 3 q 2 + 1 · 4 p 3 + 1 · 5 h 4

Voltando h para x 2 + x 3 + x 4 + x , p para x 2 + x 3 + x e q para x 2 + x ...

f ' x = 5 3 2 x + 1 x 2 + x 2 + 1 · 4 x 2 + x 3 + x 3 + 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 4

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = 5 3 2 x + 1 x 2 + x 2 + 1 · 4 x 2 + x 3 + x 3 + 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 4

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