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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2m

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(m) f x = sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Já adianto que em um momento da derivada vamos cair em uma derivada da derivada de duas funções. Nesses casos aplicamos a regra do produto como

p x = m x n x → p ' x = m ' x · n x + m x · n ' x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 , então h x = x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ h x d h x

f ' x = d x 2 d x + d sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 ...

f ' x = d x 2 d x + d x 2 sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ p x d x · d sin ⁡ h x d h x

Temos que aplicar a regra do produto na derivada de x 2 sin ⁡ x 2

f ' x = d x 2 d x + d x 2 d x · sin ⁡ x 2 + x 2 · d sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ p x d x · d sin ⁡ h x d h x

E por fim, aplicando a regra da cadeia novamente na derivada de sin ⁡ x 2 ...

f ' x = d x 2 d x + d x 2 d x · sin ⁡ x 2 + x 2 · d x 2 d x · d sin ⁡ q x d q x · d sin ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x , p x e q x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 d x + d x 2 d x · sin ⁡ x 2 + x 2 · d x 2 d x · d sin ⁡ q d q · d sin ⁡ p d p · d sin ⁡ h d h

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 2 x + 2 x · sin ⁡ x 2 + x 2 · 2 x · cos ⁡ q · cos ⁡ p · cos ⁡ h

Voltando h para x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 , p para x 2 sin ⁡ x 2 e q para x 2 ...

f ' x = 2 x + 2 x sin ⁡ x 2 + 2 x 3 cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 2 x + 2 x sin ⁡ x 2 + 2 x 3 cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 sin ⁡ x 2

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