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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2n

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(n) f x = sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x , então h x = 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x ...

f ' x = d 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x d x · 6 d cos ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Temos que aplicar a regra da cadeia novamente na derivada de 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x

f ' x = d 6 cos ⁡ 6 x d x · 6 d sin ⁡ q x d q x · 6 d cos ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

E por fim, aplicando a regra da cadeia novamente na derivada de 6 cos ⁡ 6 x ...

f ' x = d 6 x d x · 6 d cos ⁡ r x d r x · 6 d sin ⁡ q x d q x · 6 d cos ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x , p x , q x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d 6 x d x · 6 d cos ⁡ r d r · 6 d sin ⁡ q d q · 6 d cos ⁡ p d p · d sin ⁡ h d h

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 6 · 6 - sin ⁡ r · 6 cos ⁡ q · 6 - sin ⁡ p · cos ⁡ h

f ' x = 1296 sin ⁡ r cos ⁡ q sin ⁡ p cos ⁡ h

Voltando h para 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x , p para 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x , q para 6 cos ⁡ 6 x e r para 6 x ...

f ' x = 1296 sin ⁡ 6 x cos ⁡ 6 cos ⁡ 6 x sin ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x cos ⁡ 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 1296 sin ⁡ 6 x cos ⁡ 6 cos ⁡ 6 x sin ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x cos ⁡ 6 cos ⁡ 6 sin ⁡ 6 cos ⁡ 6 x

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