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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2p

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(p) f x = 1 x - 2 x + sin ⁡ x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função f x = 1 x - 2 x + sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

A primeira coisa que vemos na função é que ela é composta por uma fração de duas funções, então para calcular sua derivada, a princípio temos que aplicar a regra do quociente, dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = 1 x - 2 x + sin ⁡ x , então g x = 1 e g x = x - 2 x + sin ⁡ x .

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d 1 d x · x - 2 x + sin ⁡ x - 1 · d x - 2 x + sin ⁡ x d x x - 2 x + sin ⁡ x 2

f ' x = d 1 d x · x - 2 x + sin ⁡ x - 1 · d x d x - d 2 x + sin ⁡ x d x x - 2 x + sin ⁡ x 2

Aplicando a regra do quociente novamente para a derivada de 2 x + sin ⁡ x ...

f ' x = d 1 d x · x - 2 x + sin ⁡ x - 1 · d x d x - d 2 d x · x + sin ⁡ x - 2 · d x + sin ⁡ x d x x + sin ⁡ x 2 x - 2 x + sin ⁡ x 2

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 0 · x - 2 x + sin ⁡ x - 1 · 1 - 0 · x + sin ⁡ x - 2 · 1 + cos ⁡ x x + sin ⁡ x 2 x - 2 x + sin ⁡ x 2

Simplificando...

f ' x = - 1 + 2 1 + cos ⁡ x x + sin ⁡ x 2 x - 2 x + sin ⁡ x 2

f ' x = - x + sin ⁡ x 2 + 2 1 + cos ⁡ x x + sin ⁡ x 2 x x + sin ⁡ x - 2 x + sin ⁡ x 2

f ' x = - x + sin ⁡ x 2 + 2 1 + cos ⁡ x x 2 + x sin ⁡ x - 2 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = - x + sin ⁡ x 2 + 2 1 + cos ⁡ x x 2 + x sin ⁡ x - 2 2

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