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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2e

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(e) f x = sin ⁡ x sin ⁡ x + sin ⁡ sin ⁡ x 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x sin ⁡ x + sin ⁡ sin ⁡ x 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Além disso, podemos observar que a função interna é dada por um produto de duas outras funções, então para a derivada da função interna temos que aplicar a regra do produto...

h x = p x · q x → h ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x sin ⁡ x + sin ⁡ sin ⁡ x 2 , então

f ' x = d sin ⁡ x sin ⁡ x d x + d sin ⁡ sin ⁡ x 2 d x

Aplicando a regra da cadeia em ambos os termos, temos

f ' x = d x sin ⁡ x d x · d sin ⁡ t x d t x + d sin ⁡ x 2 d x · d sin ⁡ r x d r x

Aplicando a regra do produto para a derivada de x sin ⁡ x e novamente a regra da cadeia em sin ⁡ x 2 ...

f ' x = d x d x · sin ⁡ x + x · d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ t x d t x + d x 2 d x · d sin ⁡ k x d k x · d sin ⁡ r x d r x

Podemos substituir t x , k x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x d x · sin ⁡ x + x · d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ t d t + d x 2 d x · d sin ⁡ k d k · d sin ⁡ r d r

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 1 · sin ⁡ x + x · cos ⁡ x · cos ⁡ t + 2 x · cos ⁡ k · cos ⁡ r

f ' x = sin ⁡ x + x cos ⁡ x cos ⁡ t + 2 x cos ⁡ k cos ⁡ r

Voltando t para x sin ⁡ x , k para x 2 e r para sin ⁡ x 2 ...

f ' x = sin ⁡ x + x cos ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x 2 cos ⁡ sin ⁡ x 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = sin ⁡ x + x cos ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x 2 cos ⁡ sin ⁡ x 2

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