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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2o

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(o) f x = sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 1 + sin ⁡ x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 1 + sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

A primeira coisa que vemos na função é que ela é composta por uma fração de duas funções, então para calcular sua derivada, a princípio temos que aplicar a regra do quociente, dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

No caso, g x é composta pelo produto de duas funções então para calcular a sua derivada temos que aplicar a regra do produto...

g x = p x · q x → g ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

E por último, vemos que tanto p x quanto q x são funções compostas, portanto para calcular suas derivadas temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

p x = m n x → p ' x = n ' x · m ' n x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 1 + sin ⁡ x , então g x = sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x e g x = 1 + sin ⁡ x .

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x d x · 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x · d 1 + sin ⁡ x d x 1 + sin ⁡ x 2

Aplicando a regra do produto para a derivada de sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x ...

f ' x = d sin ⁡ x 2 d x · sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 · d sin 2 ⁡ x d x · 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x · d 1 + sin ⁡ x d x 1 + sin ⁡ x 2

E por fim, aplicando a regra da cadeia nas derivadas de sin ⁡ x 2 e sin 2 ⁡ x ...

f ' x = d x 2 d x · d sin ⁡ m x d m x · sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ x d x · d n x 2 d n x · 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x · d 1 + sin ⁡ x d x 1 + sin ⁡ x 2

Podemos substituir m x e n x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 d x · d sin ⁡ m d m · sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ x d x · d n 2 d n · 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x · d 1 + sin ⁡ x d x 1 + sin ⁡ x 2

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 2 x · cos ⁡ m · sin 2 ⁡ x + sin ⁡ x 2 · cos ⁡ x · 2 n 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x · cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x 2

f ' x = 2 x cos ⁡ m sin 2 ⁡ x + 2 n sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x 2

Voltando m para x 2 e r para sin ⁡ x ...

f ' x = 2 x cos ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 2 x cos ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x 2

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