UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 10, Questão 26
Nos exercícios , e , encontre , se é definida implicitamente pela equação dada.
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Nós temos que encontrar a derivada , no entanto, a função está definida implicitamente através da relação
Então como podemos achar a derivada? A resposta é bastante direta! REGRA DA CADEIA! Se nos lembrarmos, quando temos funções compostas, podemos escrever que
Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!
Passo 2
Vamos derivar os dois lados de nossa função, temos que
aqui já podemos identificar algumas coisas, usando que
de forma que para , temos
e temos que , portanto, só nos resta resolver o lado esquerdo
Vamos aplicar a regra da cadeia agora!
Passo 3
Podemos identificar a nossa função composta como , em que , portanto, aplicando a regra da cadeia, podemos escrever
a derivada de arcosseno é conhecida, temos que
a outra derivada podemos fazer usando a regra do produto
em que temos que e , usando a regra do tombo que apresentei antes, e identificando a derivada de , temos que
Usando então que , temos que
Vamos juntar todos os resultados para obtermos a derivada!
Passo 4
Usando o que calculamos nos passos anteriores, temos que
Temos que isolar
colocando em evidência, temos
Obtemos então a nossa derivada como
a partir da definição ímplicita da função, podemos escrever que
e, portanto, temos que
É um resultado bastante feinho! Mas é isso mesmo! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!