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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 10, Questão 28

Nos exercícios 27 . a 29 . verifique a igualdade.

28 .   d d x ( a r c t a n [ x 1 + 1 - x 2 ] ) = 1 2 1 - x 2

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nós temos que verificar a igualdade

  d d x ( a r c t a n [ x 1 + 1 - x 2 ] ) = 1 2 1 - x 2

Bem, não tem muito segredo! Vamos usar derivadas conhecidas e a regra da cadeia para expandir o lado esquerdo e assim demonstrar a igualdade! A regra da cadeia é tal que se temos uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , devemos aplicar a definição

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f ( g ) d g d g ( x ) d x

Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!

Passo 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia identificando que f ( g ) = a r c t a n ( g ) e g ( x ) = x 1 + 1 - x 2 , portanto, podemos escrever

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = d d g [ a r c t a n ( g ) ] d d x [ x 1 + 1 - x 2 ]

a derivada do arcotangente é conhecida como

d d g [ a r c t a n ( g ) ] = 1 g 2 + 1

e, se lembrarmos da regra do quociente para derivadas funções escritas como g ( x ) = h ( x ) / i ( x ) , temos que

d d x [ h ( x ) i ( x ) ] = d d x [ h ( x ) ] i ( x ) - h ( x ) d d x [ i ( x ) ] [ i ( x ) ] 2

identificando que h ( x ) = x e i ( x ) = 1 + 1 - x 2 , temos que

d d x [ x 1 + 1 - x 2 ] = d d x [ x ] [ 1 + 1 - x 2 ] - x d d x [ 1 + 1 - x 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2

Isso nos dá algumas outras derivadas para resolver! Mas como esse passo já está longo! Vamos para o próximo! Bebe uma água e bora lá!

Passo 3

Temos que resolver a derivada

d d x [ x 1 + 1 - x 2 ] = d d x [ x ] [ 1 + 1 - x 2 ] - x d d x [ 1 + 1 - x 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2

podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

com n = 1 para obter

d d x [ x ] = 1

usando a linearidade do operador derivada e lembrando que derivadas de constante são zero, temos que

d d x [ 1 + 1 - x 2 ] = d d x [ 1 ] + d d x [ 1 - x 2 ] = d d x [ 1 - x 2 ]

usando novamente a regra da cadeia, mas agora com temos que f ( g ) = g 1 / 2 e g ( x ) = 1 - x 2 , temos que

d d x [ ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ] = d d g [ g 1 / 2 ] d d x [ 1 - x 2 ]

usando a regra do tombo temos que

d d g [ g 1 / 2 ] = 1 2 g - 1 / 2

e, analogamente ao que fizemos antes, temos que

d d x [ g ( x ) ] = d d x [ 1 - x 2 ] = - 2 x

Juntando os dois resultados, temos que

d d x [ ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ] = - x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2

Portanto a nossa regra do quociente resulta em

d d x [ x 1 + 1 - x 2 ] = 1 [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2

Vamos juntar os nossos resultados agora!

Passo 4

A nossa regra da cadeia é dada por

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = 1 1 + [ x 1 + 1 - x 2 ] 2 [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2

Agora começa o verdadeiro desafio! Simplificar isso e obter a nossa igualdade! Primeiro, podemos fazer um MMC no denominador da primeira fração e evidenciar o termo [ 1 + 1 - x 2 ] 2 , para obter

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = [ 1 + 1 - x 2 ] 2 [ 1 + 1 - x 2 ] 2 + x 2 [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2 = [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] [ 1 + 1 - x 2 ] 2 + x 2

agora, vamos expandir o quadrado que está no denominador, temos que

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] 1 2 + 2 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 = [ 1 + 1 - x 2 ] + x [ x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ] 2 + 2 1 - x 2

Agora, no numerador, se evidenciarmos ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 / 1 - x 2 , temos que

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = 1 1 - x 2 [ 1 - x 2 + 1 - x 2 ] + x 2 ] 2 + 2 1 - x 2 = 1 1 - x 2 1 - x 2 + 1 2 + 2 1 - x 2

Colocando o 2 em evidência no numerador e simplificando, obtemos que

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = 1 2   1 - x 2 1 - x 2 + 1 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ a r c t a n ( x 1 + 1 - x 2 ) ] = 1 2 1 - x 2

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