Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Ver Teoria
Exercício 231123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 10, Questão 29

Nos exercícios 27 . a 29 . verifique a igualdade.

29 .   d d x ( a r c t a n [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] ) = 2

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nós temos que verificar a igualdade

d d x ( a r c t a n [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] ) = 2

Bem, não tem muito segredo! Vamos usar derivadas conhecidas e a regra da cadeia para expandir o lado esquerdo e assim demonstrar a igualdade! A regra da cadeia é tal que se temos uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , devemos aplicar a definição

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f ( g ) d g d g ( x ) d x

Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!

Passo 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia identificando que f ( g ) = a r c t a n ( g ) e g ( x ) = 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) , portanto, podemos escrever

d d x [ a r c t a n [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] ] = d d g [ a r c t a n ( g ) ] d d x [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ]

a derivada do arcotangente é conhecida como

d d g [ a r c t a n ( g ) ] = 1 g 2 + 1

e, se lembrarmos da regra do quociente para derivadas funções escritas como g ( x ) = h ( x ) / i ( x ) , temos que

d d x [ h ( x ) i ( x ) ] = d d x [ h ( x ) ] i ( x ) - h ( x ) d d x [ i ( x ) ] [ i ( x ) ] 2

identificando que h ( x ) = 2   t a n ( x ) e i ( x ) = 1 -   t a n 2 ( x ) , temos que

d d x [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] = 2 d d x [ t a n ( x ) ] [ 1 - t a n 2 ( x ) ] - 2   t a n ( x ) d d x [ 1 - t a n 2 ( x ) ] [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2

Isso nos dá algumas outras derivadas para resolver! Mas como esse passo já está longo! Vamos para o próximo! Bebe uma água e bora lá!

Passo 3

Temos que resolver a derivada

d d x [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] = 2 d d x [ t a n ( x ) ] [ 1 - t a n 2 ( x ) ] - 2   t a n ( x ) d d x [ 1 - t a n 2 ( x ) ] [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2

vamos tomar como conhecida a seguinte derivada

d d x [ t a n ( x ) ] = s e c 2 ( x )

se quiser demonstrar, use a regra do quociente e que t a n ( x ) = s e n ( x ) / c o s ( x ) , sabendo as derivadas conhecidas de seno e cosseno, e a identidade trigonométrica, esse resultado deve sair diretamente. Aogra, usando a linearidade do operador derivada e lembrando que derivadas de constante são zero, temos que

d d x [ 1 - t a n 2 ( x ) ] = d d x [ 1 ] - d d x [ t a n 2 ( x ) ] = - d d x [ t a n 2 ( x ) ]

usando novamente a regra da cadeia, mas agora com temos que f ( g ) = g 2 e g ( x ) = t a n ( x ) , temos que

d d x [ t a n 2 ( x ) ] = d d g [ g 2 ] d d x [ t a n ( x ) ]

usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

temos que

d d g [ g 2 ] = 2 g

e, usando a derivada conhecida da tangente que escrevemos antes, temos que

d d x [ t a n 2 ( x ) ] = 2   t a n ( x ) s e c 2 ( x )

Portanto a nossa regra do quociente resulta em

d d x [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 2   t a n ( x ) [ 2   t a n ( x )   s e c 2 ( x ) ] [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2

Vamos juntar os nossos resultados agora!

Passo 4

A nossa regra da cadeia é dada por

d d x [ a r c t a n [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] ] = 1 1 + [ 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2

Agora começa o verdadeiro desafio! Simplificar isso e obter a nossa igualdade! Primeiro, podemos fazer um MMC no denominador da primeira fração e evidenciar o termo [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 , para obter

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 + 4   t a n 2 ( x ) 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 + 4   t a n 2 ( x )

agora, vamos expandir o quadrado que está no denominador, temos que

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] 2 + 4   t a n 2 ( x ) = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) 1 2 + 2   t a n 2 ( x ) + t a n 4 ( x )

Agora, no numerador, se distribuirmos os produtos, temos que

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2   s e c 2 ( x ) [ 1 - t a n 2 ( x ) ] + 4   t a n 2 ( x )   s e c 2 ( x ) 1 + 2   t a n 2 ( x ) + t a n 4 ( x ) = 2   s e c 2 ( x ) + 2   t a n 2 ( x ) s e c 2 ( x ) 1 + 2   t a n 2 ( x ) + t a n 4 ( x )

vamos expandir um pouco os termos do denominador

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2   s e c 2 ( x ) + 2   t a n 2 ( x ) s e c 2 ( x ) 1 + 2   t a n 2 ( x ) + t a n 4 ( x ) = 2   s e c 2 ( x ) + 2   t a n 2 ( x ) s e c 2 ( x ) 1 + t a n 2 ( x ) + t a n 2 ( x ) [ 1 + t a n 2 ( x ) ]

usando a identidade 1 + t a n 2 ( x ) = s e c 2 ( x ) , temos

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2   s e c 2 ( x ) + 2   t a n 2 ( x ) s e c 2 ( x ) s e c 2 ( x ) + t a n 2 ( x ) [ s e c 2 ( x ) ] = 2   + 2   t a n 2 ( x ) 1 + t a n 2 ( x )

evidenciando o 2 no numerador, temos finalmente que

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2 1 + t a n 2 ( x ) 1 +   t a n 2 ( x ) = 2

como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ a r c t a n ( 2   t a n ( x ) 1 - t a n 2 ( x ) ) ] = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. G y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x β x