Faça a dedução da derivada da função f(x) = a^x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos demonstrar a derivada da função

f   ( x )   =   a x

Alguma ideia de como começar?

Vamos usar a regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a nossa função

f   ( x )   =   a x

= e l n ( a x )

usando a propriedade do log

= e x l n ( a )

Agora, vamos derivar. Sabendo que

d d x e x = e x

Vamos usar a regra da cadeia.

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Nesse caso, f ( x ) = e x e g ( x ) = x l n ( a )

Logo, temos:

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

= e x l n ( a ) l n ( a )

Reorganizando, temos

= e l n ( a x ) l n ( a )

= a x l n ( a )

Ou seja, temos que

d d x a x = a x l n ( a )

Logo, a derivada é proporcional à função original.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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