UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.35a
Faça o que se pede em cada item, indicando claramente a(s) propriedade(s) utilizada(s) durantes os respectivos cálculos:
(a) Sendo , obtenha
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função , usando as propriedades da derivação.
Então, vamos lá!
Passo 2
De cara, como a gente tem uma subtração, a gente pode usar a propriedade da soma e subtração. Ela nos diz que a derivada da soma/subtração de uma função é igual a soma/substração das derivadas. Então, a gente pode separar em duas, fazendo:
Agora vamos calcular uma por uma pra gente não se atrapalhar. No primeiro termo, temos:
É uma função exponencial que tá elevada ao seno de um logaritmo natural. Então, a gente tem três funções, uma dentro da outra. Nesses casos de funções compostas, nós usamos a Regra da Cadeia para derivar. Basicamente a gente faz a derivada da função de fora aplicada na função de dentro e multiplica pela derivada da função de dentro, sempre de fora pra dentro. Então, fica assim:
Derivando as funções de dentro:
Passo 3
Agora vamos pegar o segundo termo:
Aqui a gente também tem uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro:
Derivando o seno e exponencial (as funções de dentro):
Como cosseno sobre seno é igual a cotangente, nós podemos escrever:
Passo 4
Agora juntando tudo, nossa derivada vai ser:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉