UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 3a.
3) Se é uma função derivável e positiva, então . Vamos usar este fato para calcular a derivada da função
Tomando o logarítmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma produtos em soma e potências em produtos, obtemos
Derivando, obtemos
e, portanto,
O procedimento acima é chamado de derivação logarítmica. Use-o para derivar as funções abaixo.
(a)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, vamos aplicar um conceito um tanto quando diferente. No enunciado foi afirmado que , isolando de um lado da igualdade, podemos obter a derivada de como
A vantagem de usarmos esse método, é que em logaritmos produtos viram somas, quocientes viram subtrações e potencias viram produtos.
Para testar esse método, a questão nos pediu para usarmos a função
Vamos ver como fica .
Se potência vira produto, então
Com isso, montando , temos
Entendeu? 😉
Passo 2
Para calcular a derivada de , temos que aplicar a regra do produto, lembra dela??
Quando temos a uma função sendo o produto entre duas funções, no caso onde e .
A derivada de será
Com isso, podemos afirmar que
Vamos substituir essas informações em
Vamos calcular cada derivada separadamente pra facilitar na visualização do que estamos fazendo.
Tranquilo até aqui? 😎😎
Passo 3
Primeiro vamos calcular a derivada de . Aplicando o método de derivação de polinômios onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos o expoente por .
Já a derivada de é obtida através da regra da cadeia, já que é uma função composta onde . Nesse caso a regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada por
Lembrando que em temos que substituir por uma variável qualquer.
Com isso, temos
Pelo método da derivada de polinômios lembrando que a derivada de uma constante é .
E a derivada de temos que decorar
Não podemos deixar em função de , então substituímos por de volta
Interessante, não é? 🤩🤩
Passo 4
Por fim, substituímos os resultados que obtemos em
Simplificando um pouquinho nossa equação, temos
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
