UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 3b.
3) Se é uma função derivável e positiva, então . Vamos usar este fato para calcular a derivada da função
Tomando o logarítmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma produtos em soma e potências em produtos, obtemos
Derivando, obtemos
e, portanto,
O procedimento acima é chamado de derivação logarítmica. Use-o para derivar as funções abaixo.
(b)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Foi apresentado para a gente um método novo para a obtenção de derivadas. Esse método é chamado de derivação logarítmica que consiste em obter uma derivada de uma função como
Mas você deve estar se perguntando: “Qual a vantagem disso?? 🤔🤔”
Bem, em alguns casos é muito difícil encontrar um método para obter uma derivada quando temos uma função muito estranha, como no nosso exemplo
Esse cosseno no expoente acaba com a felicidade de qualquer um!
Aí entra a vantagem de se usar a derivação logarítmica, pois pela propriedade de , o expoente vira produto. assim eliminamos o principal problema que tínhamos.
Vamos ver como fica nossa
Aplicando a propriedade do expoente, temos
Entendeu? 😎
Passo 2
Para calcular a derivada de , vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
A regra do produto nos diz que quando temos uma função formada pelo produto de outras duas funções, temos por exemplo
Mas perceba que é uma função composta, onde , e . Quando derivamos vamos aplicar a regra da cadeia que nos diz o seguinte
Na derivada de , vamos substituir por uma variável qualquer.
Vamos construir e
A derivada de é nosso , logo
Perceba que já substituímos por .
Substituindo em , temos
Agora substituindo em , temos
Está acompanhando? 👀👀
Passo 3
Por fim, vamos obter cada derivada separadamente pra organizar nossas ideias.
Primeiro vamos calcular a derivada de . Pelo teorema fundamental do cálculo, essa derivada resulta em
A próxima é a derivada do . Também pelo teorema fundamental do cálculo, a resultante é
Por último, a derivada de é dada como pelo mesmo teorema dos anteriores.
Porém não podemos deixar o resultado em função de , então temos que substituir de volta em , ou seja
Tranquilo até aqui? 😁😁
Passo 4
Só nos resta substituir os resultados que obtemos no passo anterior em
Organizando nosso resultado, temos
Bacana, não é? Esse método facilitou muito nossa vida nesse caso!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
