Lista de aplicações – semana 7– UnB –regra da cadeia, derivação implícita, derivada de funções inversas– questão 5
A função secante , como o domínio restrito e contradomínio restrito ao intervalo , é bijetiva sendo portanto invertível. Sua inversa é definida por
Sabendo que ela é derivável em , siga os passos abaixo para calcular
- Use a regra do quociente (ou a da cadeia) para mostrar que
- Aplique o operador de derivação em ambos da igualdade de não esquecendo de usar a regra da cadeia para derivar o lado direito da igualdade
- Isole o termo na expressão encontrada acima
- Lembrando que e , escreva como função de x
- Substitua e na sua resposta do item c) para obter a expressão como função apenas da variável x
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?
Essa é a questão que contém questões dependentes, ou seja, que por exemplo o tem b depende de a ou outra ordem. Então segue junto que vamos destrinchar essa questão
Para a)
Sabemos que a função secante é o inverso do cosseno, isto é
Assim:
Bom, usaremos a regra da cadeia? Por que? Porque temos uma função que depende de uma outra função.
Façamos e
E assim a derivada é:
A derivada de qualquer constante é nula porque já é uma reta, assim , e a derivada de cos(y) é menos seno, ou seja . Assim:
Resumindo então:
Mas . Assim:
PS: a sigla “c.q.d” significa “como queríamos demonstrar”.
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Para b)
Temos então:
Pede-se então:
Como mostrado no item anterior, essa é uma função composta, quando tem uma função dentro da outra, assim temos que derivar usando a regra da cadeia.
E a derivada do lado esquerda é a normal que conhecemos, a derivada do decaimento, ou seja:
Logo:
E como mostramos na questão anterior, já sabemos a derivada da secante. Sacou como as questões são dependentes?
Para c)
Bom, agora basta isolarmos da equação que achamos no último passo, ou seja:
Resumindo:
Passo 3
Para d)
Bom, sem muito segredo, é nos dado que:
Assim:
Isolando somente
Como foi dado que :
Para e)
Bom, do item c), sabemos que:
Substituindo e
E terminamos por aqui, carinha. Até a próxima, meu chapa.
Resposta
Para a)
Mostrado no passo 1
Para b)
Para c)
Para d)
Para e)