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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Questão 3:

Use a regra de derivação e calcule a função derivada em cada caso.

c)

f x = 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x

Passo 1

Em relação a essa derivada, vamos com calma... Primeiro eu quero que você entenda que aqui temos uma função composta...

f x = g x

E para derivadas de funções compostas, sempre usamos a regra da cadeia, que nada mais é do que a derivada da função mais externa, no caso a raiz, e depois multiplicar pela derivada mais interna, no caso a de g x ...

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

f ' x = g x ' ⋅ g ' x

Como a derivada da raiz é...

f ' x = 1 2 g x ⋅ g ' x

Substituindo a g x ...

f ' x = 1 2 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ⋅ 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' =

f ' x = 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x '

Aplicada à regra da cadeia, agora calculemos essa outra derivada aí!

Passo 2

1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x '

Aqui, devemos utilizar a regra da fração...

1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' = 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ' - 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' 1 - cos ⁡ x 2

A derivada...

1 + cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x

e

1 - cos ⁡ x ' = sin ⁡ x

Então...

1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' = 1 - cos �� x - sin ⁡ x - 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2   →

Simplificando um pouco...

1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2   →

1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ' = - 2 sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2  

Passo 3

Voltando para a derivada central...

f ' x = 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x '     →

f ' x = 1 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ - 2 sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2     →

f ' x = - 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2     →

Poderíamos terminar aqui, mas ainda podemos simplificar um pouco mais se lembrarmos de que... 1 - cos ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ x ...

f ' x = - 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x     →

f ' x = - 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x     →

f ' x = - 1 1 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x     →

f ' x = - 1 1 - cos 2 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x     →

Como 1 - cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x ...

f ' x = - 1 sin 2 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x     →

f ' x = - sin ⁡ x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

Resposta

- sin ⁡ x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x

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