UFRJ. Cálculo 2. PF. 2022.1. Questão 3.
Seja a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto . Se , e , calcule .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, foi dado um plano tangente a uma função no ponto . Esse plano tangente é dado pela equação .
Além disso, foi dado mais algumas informações como uma função que se relaciona com através de e sendo .
Entendeu alguma coisa?? 🤔
Relaxa, sempre que temos uma função que está relacionada a outra função, a primeira coisa que devemos fazer é verificar se temos que usar a regra da cadeia para derivar a função.
Vemos que está contida em , já que , ou seja, temos que usar a regra da cadeia nesse probleminha.
Outra coisa que vamos usar é a formulinha do plano tangente de uma função, lembra dela?
É grandinha, mas vamos usa-la para fazer uma relação com o plano tangente que foi dado no enunciado.
Bora começar a montar nosso probleminha? 😁
Passo 2
Vamos começar pela relação do plano tangente com a formulinha.
Se a gente organizar de modo a evidenciar , e , vamos obter (para diminuir a extensão da formula, vamos chamar o ponto de ).
Comparando com a equação dada, temos
Por igualdade de polinômios, podemos dizer que
Daqui, vamos guardar as informações e .
Agora vamos partir para a regra da cadeia.
Queremos a derivada de , ou seja, quando e forem iguais a .
Se a gente substituir esse ponto nas equações que relacionam e a e , temos
Veja só que maravilha! Nesse ponto ,
Essa coordenada em não é exatamente o ponto em que o plano tangente foi obtido? 👀
Ou seja, o ponto em coordenadas de é o ponto !
Interessante, não é?
Passo 3
Lembra como é a formulinha da regra da cadeia?
Como estamos no espaço , e estão relacionados a
Se , então e foram os dados que encontramos no passo anterior, concorda?
O que resta é derivar e com relação a
Por derivação de polinômios podemos encontrar as derivadas como
Substituindo as coordenadas nesses resultados, temos
Relembrando os dados que vamos usar:
Substituindo em , temos
A derivada de no ponto com relação a é dada por !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
