Seja f: R → R uma função duas vezes derivável e g(x) = f(x^2) . Calcule g''(2) sabendo que f'(4) = 2 e f''(4) = 3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a segunda derivada de g x no ponto de x = 2

Para isso, a questão nos diz apenas que g x = f ( x 2 ) , e que:

f ' 4 = 2

E

f ' ' 4 = 3

Assim, para descobrirmos g ' ' 2 , temos que aplicar a regra da cadeia duas vezes.

Mas que regra é essa??

A regra da cadeia estabelece que a derivada de h ( u ( x ) ) é h ' ( u ( x ) ) ⋅ u ' ( x ) .

Em outras palavras, ela nos ajuda a calcular a derivada de funções compostas.

Agora vamos aplicar na nossa função!!

😉

Passo 2

Bom... aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada, temos:

g ' x = d d x   f x 2 ∴

g ' x =   f ' x 2 * d d x   x 2 ∴

g ' x   =   f ' ( x 2 )   *   2 x

Agora, devemos encontrar a segunda derivada de g ( x ) em relação a x .

g ' ' x = d 2 d x 2   f ( x 2 ) ∴

g ' ' x   = d d x   f ' x 2 *   2 x ∴

g ' ' x =   f ' ' x 2 * d d x   x 2 +   f ' x 2 *   2 ∴

g ' ' x =   f ' ' x 2 *   2 x   +   f ' ( x 2 )   *   2

Do enunciado, sabemos que f ' 4 = 2 e f ' ' 4 = 3 .

Dessa forma, resta apenas a gente substituir!!

Passo 3

Assim, substituindo os valores, temos:

g ' ' 2 =   f ' ' 2 2 *   2 * 2   +   f ' 2 2 *   2 ∴

g ' ' 2 = f ' ' 4 * 2 * 4 + f ' 4 * 2 ∴

g ' ' 2 = 3 * 8 + 2 * 2 ∴

g ' ' 2 = 28

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' ' 2 = 28

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