UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 14a
Sejam diferenciável e
- Mostre que
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?
“Sejam diferenciável”
Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função !
“e ”
Aqui começa: temos uma função que é definida em termos dessa outra função que ele falou! Notem que a é uma função composta!
Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um ali dentro de , temos uma outra função! O ! Tranquilo até aqui? Vamos seguindo?
Agora nesse primeiro item o problema pede:
“Mostre que ”
Ah rá! Agora o problema chegou no que queria: mostrar que a derivada de é dada em termos da e de sua derivada! Mas como fazer isso? Derivando!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Precisamos derivar essa coisa:
Logo de cara vemos que tem um produto de funções: o está multiplicando uma função composta. Então para derivar vamos usar a Regra do Produto
A derivada de é:
E a derivada daquela função composta? Vamos usar a Regra da Cadeia
É a derivada da função mais externa (no nosso caso ) mantendo o argumento de dentro, multiplicado pela derivada do argumento de dentro (esse argumento no nosso caso é )
Beleza?
Assim nossa derivada fica:
Usando e , temos:
Beleza? Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Estamos quase lá! Agora nossa missão é simplificar ao máximo e comparar com o resultado que o problema pediu para mostrar:
E comparando com o que foi pedido:
É isso aí! Mostramos!
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Até próxima!