4.1. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f^(-1) , também seja derivável. Mostre que

f^(-1)'(x) = 1 / (f'(f^(-1)(x)))

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que mostrar que a derivada de uma função inversa f - 1 x é dada por

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Como vamos fazer isso? 🤔🤔

Para resolver esse problema, temos que manipular um pouquinho uma função qualquer f x que se encaixe no problema.

Bora ver como fazemos...

Passo 2

Se chamarmos f x = y e x = f y , temos que inverter a função, ou seja, podemos dizer que

f x = y → y = f f y

Assim, podemos derivar os dois lados com relação a y

d y d y = d f f y d y

Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, chegamos em

1 = f ' u · f ' y

Voltando u para f y

1 = f ' f y · f ' y

Isolando f ' y ...

f ' y = 1 f ' f y

Mas veja, só... a função f y não é exatamente e inversa de f x ? Portanto substituimo f y por f - 1 x ...

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

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