UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 9.
9 - Suponha que a temperatura em um ponto de uma placa de metal seja . Uma formiga, andando sobre a placa, percorre um círculo de raio 5 centrado na origem. Qual é a maior e a menor temperaturas encontradas pela formiga?
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos uma formiguinha sob uma placa de metal, nessa placa, sua temperatura é descrita pela função . Essa formiguinha começa a andar sob a placa formando uma circunferência de raio com centro na origem de .
Com isso, queremos saber qual é a maior e qual a menor temperatura que a formiguinha vai enfrentar em sua caminhada.
Mas vamos apenas derivar a função e igualar a ?
Sim e não!
Antes que derivarmos, temos que substituir as condições que temos no problema. No caso a condição é que queremos apenas os valores do espaço que nossa formiguinha vai andar, ou seja, a circunferência de raio .
Lembra da equação da circunferência?
Logo, no nosso caso.
Vamos começar nossos cálculos?
Passo 2
Vamos isolar em um lado da equação da circunferência e substituir em .
Em , vamos ter
Derivando esse resultado, vamos encontrar os possíveis valores para .
Sabemos que a derivada de uma soma é iguala a soma das derivadas, logo
Vamos calcular a derivada de . Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente.
A derivada de é obtida através de uma mistura entre a regra do produto e a regra da cadeia. Perceba que é uma função que vamos chamar de e é outra função que vamos chamar de , como temos , sua derivada é dada pela regra do produto
Com isso temos
Está entendendo? 👀👀
Passo 3
Mas perceba que na derivada de temos que aplicar a regra da cadeia já que temos uma função composta
na derivada temos que substituir por uma variável qualquer.
Substituindo esse resultado na derivada de
Por derivada de polinômios as derivadas de , e , vão ser
Substituindo esses resultados, na derivada de
Não podemos deixar o resultado em função de , então não podemos esquecer substitui-lo por .
Para finalizar a derivada de , temos que derivar , mas como sabemos, a derivada de uma constante é .
Passo 4
Substituindo os resultados em , temos
Simplificando essa equação, temos
Veja que apenas multiplicamos o numerador e o denominador de por para deixar todos com o mesmo denominador.
Vamos igualar esse resultado a e obter os valores para em que a equação é satisfeita.
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para remover a raiz
Organizando o resultado, vamos obter
Com isso, encontramos os valores de , onde
Interessante, não é?
Passo 5
Agora vamos descobrir os valores para substituindo os valores de na equação da circunferência.
Para
Para
Com isso, os pontos que vamos observar, vão ser os pontos , , , , , , e .
Haja ponto, não é?
Vamos substituí-los em e observar qual apresenta o maior valor e qual apresenta o menor valor.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Obtemos a metade das temperaturas, vamos continuar.
Passo 6
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Por fim, para o ponto :
Observando os resultados, os pontos mais quentes foram e onde obtemos . Já os pontos mais frios, foram os pontos e , onde obtemos .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Pontos mais quentes e com temperatura de .
Pontos mais frios e com temperatura de .