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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Usando regras de derivação, calcule g ' x para g x = e x 2 ln ⁡ x 2 + x

Passo 1

Usar a regra do quociente

Essa derivada vai ficar com uma cara feia no final, mas paciência. A primeira coisa a se fazer é ver: opa! A função é um quociente! Então aplicando a regra do quociente, vamos ter:

g ' x = e x 2 ' ln ⁡ x 2 + x - e x 2 ln ⁡ x 2 + x '   ln 2 ⁡ x 2 + x

Segura esse resultado um pouquinho. Afinal, temos que derivar as funções no numerador!

Passo 2

Derivando as funções do numerador

Show de bola, vamos derivar o que parece primeiro na ordem de leitura:

e x 2 '

Aqui vamos ter que usar a regra da cadeia. Partiu:

e x 2 ' = e x 2 x 2 '

e x 2 ' = 2 x e x 2

E pra fechar, vamos ter que usar a regra da cadeia também pra derivar a última função. Dá uma olhada:

ln ⁡ x 2 + x ' = 1 x 2 + x x 2 + x '

ln ⁡ x 2 + x ' = 2 x + 1 x 2 + x

Passo 3

Juntar tudo

Opa, tem mais nada pra derivar!. Agora é só juntar tudo:

g ' x = e x 2 ' ln ⁡ x 2 + x - e x 2 ln ⁡ x 2 + x '   ln 2 ⁡ x 2 + x

e x 2 ' = 2 x e x 2

ln ⁡ x 2 + x ' = 2 x + 1 x 2 + x

Sendo assim, vamos ter:

g ' x = 2 x e x 2 ln ⁡ x 2 + x - e x 2 2 x + 1 x 2 + x   ln 2 ⁡ x 2 + x

g ' x = 2 x e x 2   ln ⁡ x 2 + x - 2 x + 1 e x 2   x 2 + x ln 2 ⁡ x 2 + x

Resposta

g ' x = 2 x e x 2   ln ⁡ x 2 + x - 2 x + 1 e x 2   x 2 + x ln 2 ⁡ x 2 + x

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