Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P1, Questão 2.
Usando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
(a) .
(b) .
(c) .
Passo 1
(a) Então pessoal, agora vamos mexer só com as regras da derivação. Aqui não tem segredo, tem que seguir a receita mesmo!
A primeira função é essa aqui:
Tá, é um produto de duas funções, então a gente tem que usar a regra do produto, que é essa:
Quem são e nesse caso? É só comparar com a função da questão:
Vamos tirar as derivadas dessas duas funções separadamente, e depois a gente joga tudo na regra do produto.
Passo 2
Então tá, primeiro vamos calcular :
Tem dois termos aí nessa função. Olha o que acontece com a derivada nesse caso:
Tranquilo, né? É só derivar cada um. Começando pela da esquerda.
Nesse caso, a gente tem que reescrever a raiz quarta como um exponente:
E agora é só usar a regra da derivada de uma potência:
Então:
Beleza, então por enquanto nossa derivada está assim:
E a derivada da tangente? Essa não tem segredo, é só consultar uma tabela:
Então:
Passo 3
Agora vamos ver a outra derivada:
Aqui é só usar aquela regrinha que apareceu no passo de cima:
Então olha o que acontece:
Isso quer dizer que:
Passo 4
Agora é só jogar tudo que a gente calculou na regra do produto. A gente viu que:
E acabamos de calcular que:
Então, substituindo:
Pronto! Não vale a pena simplificar mais do que isso, só vai complicar mais as coisas!
Passo 5
(b) Agora vamos derivar essa função aqui:
Antes de mais nada, vamos fazer uma tabelinha com as derivadas de cada um desses termos, que são todas bem simples:
Legal, isso vai facilitar bastante a nossa vida. Agora vamos olhar pra nossa função: ela é um quociente. Então vamos usar a regra do quociente, que é essa aqui:
Quem são e no nosso caso?
E usando a nossa tabelinha, fica fácil calcular as derivadas dessas duas funções:
Passo 6
Beleza, estamos quase lá. Agora é só substituir essas expressões na fórmula da regra do quociente:
Lembrando que:
Então:
Aqui vale a pena tentar simplificar um pouco. Vamos multiplicar os parênteses no numerador:
E aí podemos somar o com o :
E colocar e em evidência:
Pronto!
Passo 7
(c) Agora vamos para a última derivada:
É uma função composta! Ou seja, tem uma função dentro da outra:
Então tá, como a gente tira derivada de função composta? Usando a regra da cadeia!
Pra explicar essa regra, vamos chamar de . Então vamos ficar com:
E a regra da cadeia diz o seguinte:
Entendeu? É a derivada da função “de fora” vezes a derivada da função “de dentro”. Quando a gente resolver vai ficar mais claro.
Passo 8
Dá uma olhada na fórmula de novo:
Vamos começar fazendo :
Até aqui nenhum segredo, certo? A derivada do cosseno é sempre o negativo do seno.
Agora vamos fazer :
Temos a derivada de uma potência e a derivada de uma constante. Vai ficar assim:
E como a derivada da constante é zero:
Passo 9
Agora é só voltar á na expressão da regra da cadeia:
A gente viu que:
Então:
Substituindo :
Resolvido!
Resposta
(a) .
(b) .
(c) .