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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1

Utilizando as regras de derivacão, calcule a derivada das seguintes funcōes:

d) k ( x ) = x 2 - x ⋅ 2 x 5 + 3 x 2 - 1

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função k ( x ) = x 2 - x ⋅ 2 x 5 + 3 x 2 - 1 usando as regras de derivação.

A função k ( x ) é o produto de duas funções: f ( x ) = x 2 - x e g ( x ) = 2 x 5 + 3 x 2 - 1 . Para calcular a derivada de k ( x ) , precisamos aplicar a regra do produto.

A regra do produto diz que a derivada de um produto f ( x ) ⋅ g ( x ) é dada por:

d d x [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )

Passo 2

V a m o s   c a l c u l a r   a s   d e r i v a d a s   d a s   f u n ç õ e s   f ( x )   e   g ( x )   :

  1. Derivada de f ( x ) = x 2 - x :A derivada de f ( x ) em relação a x é f ' ( x ) = 2 x - 1 2 x .
  2. Derivada de g ( x ) = 2 x 5 + 3 x 2 - 1 :A derivada de g ( x ) em relação a x é g ' ( x ) = 10 x 4 + 6 x .

A g o r a ,   a p l i c a n d o   a   r e g r a   d o   p r o d u t o ,   t e m o s :

d d x [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )

= 2 x - 1 2 x ⋅ 2 x 5 + 3 x 2 - 1 + x 2 - x ⋅ 10 x 4 + 6 x

Passo 3

S i m p l i f i c a n d o   a   e x p r e s s ã o :

d d x [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = 4 x 6 + 6 x 3 - 2 x - 1 2 x 5 - 3 2 x 2 + 10 x 4 x + 6 x x

Portanto, a derivada da função k ( x ) = x 2 - x ⋅ 2 x 5 + 3 x 2 - 1 em relação a x é:

k ' ( x ) = 4 x 6 + 6 x 3 - 2 x - 1 2 x 5 - 3 2 x 2 + 10 x 4 x + 6 x x

Resposta

a derivada da função k ( x ) = x 2 - x ⋅ 2 x 5 + 3 x 2 - 1 em relação a x é:

k ' ( x ) = 4 x 6 + 6 x 3 - 2 x - 1 2 x 5 - 3 2 x 2 + 10 x 4 x + 6 x x

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