Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 8, Exercício 17
(Capítulo 16.8 – Exercício 17) Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
Encontre o trabalho realizado.
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
O Teorema de Stokes tem, basicamente, duas formas. Podemos observar cada uma em um lado da seguinte igualdade:
Normalmente utilizamos a forma do lado esquerdo, porém para calcular o trabalho, vou usar a outra forma do Teorema de Stokes, do lado direito:
E para começar, vamos calcular o rotacional de :
Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.
E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.
Aplicando Laplace na primeira linha:
E então encontramos:
Passo 2
Agora vamos encontrar a função Como a região é a parte do plano do primeiro octante, então a função é:
E o vetor normal à superfície é:
Aplicando na função temos:
LEMBRETE: nessa etapa, pegamos a função (função que descreve o comportamento de ) e aplicamos nas coordenadas , derivando conforme a variável. Após aplicar a derivada encontraremos:
E o produto escalar entre e é:
Passo 3
Legal! E agora a região de integração. É em e os limites de e são:
No plano , temos . E o diferencial de área é . Agora é só colocar tudo na integral!
Passo 4
Relembrando lá do passo o Teorema de Stokes:
Assim o trabalho realizado é .
Prontinho, pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?
