Considere o campo de vetores .

1. Calcule .
2. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral

Onde C é a curva interseção da superfície com o cilindro .

Antes de utilizarmos o Teorema de Stokes, vamos relembrar o que ele nos diz! De uma forma resumida, ele afirma que a integral de linha da função na curva corresponde ao fluxo do rotacional da função na superfície orientada positivamente delimitada pela curva .

Se escrevermos matematicamente o que a definição nos diz, temos:

Em que o vetor é dado por .

Como o rotacional já foi resolvido no Passo 1, nos só temos que calcular o vetor normal a superfície e calcular o elemento de área .

Entretanto, antes de começarmos a calculá-los, precisamos parametrizar a nossa superfície.

Para isto, sabemos que ela é dada por . Só que como conseguimos explicitar a variável no nosso paraboloide hiperbólico , a nossa superfície possui a seguinte equação parametrizada:

E o domínio dessa superfície é a parte interna ao cilindro . Portanto,

Agora, já possuímos as informações suficientes para calcular o elemento de área e o vetor normal .

Vamos começar os cálculos pelo elemento de área . Ele é obtido da norma do produto vetorial de por . Isto é,

Começaremos obtendo as derivadas parciais da equação paramétrica da superfície S, . Para isto, basta lembrar que ao derivarmos em relação a , consideramos constante, e vice-versa. Logo,

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre eles. Para isto, basta montar uma matriz 3x3 em que a primeira linha consiste nos vetores da base canônica (i,j,k), na segunda linha são as coordenadas do primeiro vetor e na terceira linha as coordenadas do segundo vetor. O determinante desta matriz é o nosso vetor resultante.

Portanto, calculando o produto vetorial, temos:

Calculando a norma deste vetor resultante, temos:

Portanto, o elemento de área é:

Já para calcularmos o vetor normal a superfície, vamos utilizar estas relações de produto vetorial obtidas! Este vetor será dado por:

Agora, podemos juntar todas as nossas informações para calcular a nossa integral de linha. Como o Teorema de Stokes afirma, temos:

Substituindo os valores que obtivemos nos Passos anteriores, temos:

Esta operação entre vetores é um produto interno. Para resolvermos, precisamos multiplicar a primeira coordenada de cada vetor e somar com o produto da segunda coordenada de cada vetor e, por fim, somar com o produto da terceira coordenada de cada vetor. Logo,

Agora, basta substituirmos os limites de integração, os quais estão relacionados ao domínio da nossa superfície. Como , o que corresponde a uma região circular, fica muito mais fácil resolver esta integral dupla se mudarmos o nosso sistema de coordenadas para as coordenadas polares.

E é isto o que vamos fazer. Vamos mudar o elemento de área para coordenadas polares e a função da nossa integral. Lembrando, as coordenadas polares são dadas por:

Com e (limites que saem diretamente do disco de raio 2 e arco . Continuando, o elemento de área é:

E sendo assim, a nossa integral se transforma em:

Resolvendo esta integral, temos:

E assim finalizamos a questão.