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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Questão 5: Utilize o Teorema de Stokes para mostrar que

∮ C   3 y + z d x + x + 4 y d y + 2 x + y d z = - 3 2 π a 2 4

Onde C é a curva obtida como interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 com plano y + z = a .

Passo 1

AHHH! Se você não se lembra essa integral de linha é uma outra forma de escrever a integral de linha, mas não muda nada tá? Tipo

∮ C   3 y + z d x + x + 4 y d y + 2 x + y d z = ∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → é o vetor...

F x ,   y ,   z = 3 y + z ,   x + 4 y ,   2 x + y

O teorema de Stokes basicamente é a igualdade entre a integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de um campo F → ...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

E o que vamos fazer é calcular essa integral dupla e provar que é igual ao valor que o problema nos deu. Então bora comigo 😉!

Passo 2

Bem, mas o Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção da esfera de raio a com um plao y + z = a (plano paralelo ao eixo x ...

Veja alí a curva C ! Vou destacar ela aqui pra você, oh:

Veja que essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio plano azul (um disquinho deitado no plano):

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = 3 y + z ,   x + 4 y ,   2 x + y

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se a curva estiver girando no sentido anti-horário quando vista de cima... Então pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Observação importantíssima: Cara, a gente não tem a informação na verdade para onde a curva está girando, inclusive isso é uma das coisas que precisamos descobrir. Então por enquanto assumimos que esse é o sentido e se o valor que encontrarmos for com sinal contrário, então saberemos qual é o sentido verdadeiro, saca?

Passo 6

Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Calculando o rotacional

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então...

F → x ,   y ,   z = 3 y + z ,   x + 4 y ,   2 x + y       →

r o t   F → = 1 - 0 ,   1 - 2 ,   1 - 3 →

r o t   F → = 1 ,   - 1 ,   - 2

Precisamos agora:

1º - Parametrizar a superfície S

2º - Encontrar o termo n → d S

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

y + z = a

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   a - y

Agora esses parâmetros na verdade variam na limitação do plano com a esfera. Para descobrir essa limitação, fazemos a intercessão matemática entre essas superfícies, ou seja, façamos o sistema com a equação das duas:

y + z = a   x 2 + y 2 + z 2 = a 2             →

Isolando no primeiro o z e jogando na equação de baixo...

z = a - y                           →                   x 2 + y 2 + a - y 2 = a 2       →

x 2 + y 2 + a 2 - 2 a y + y 2 = a 2 →

x 2 + 2 y 2 - 2 a y = 0

Completando quadrado, vamos ver que esse cara é uma elipse no plano x y ...

x 2 + 2 y 2 - 2 a y = 0               →                         x 2 + 2 y 2 - a y = 0             →

x 2 + 2 y - a 2 2 - a 2 4 = 0             →

x 2 + 2 y - a 2 2 = a 2 2               →        

x 2 a 2 2 + y - a 2 2 a 2 4 = 1

Viu só! É uma elipse que tem centro em 0 , a 2 e está achatadinha ao redor de x ...

É justamente o que veríamos se fizéssemos a projeção da superfície S no plano x y . Por hora então, vamos apenas falar que o x e o y variam nessa projeção só para não perdermos o foco na integral de superfície 😉

Passo 8

Para encontrar o termo n → d S façamos...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = a - y

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   1 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 ,   1 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   1 ,   - 1 ,   - 2 ⋅ 0 ,   1 ,   1   d x d y =

∬ D   - 1 + - 2   d x d y =

- 3 ∬ D     d x d y

Onde D é a elipse...

x 2 a 2 2 + y - a 2 2 a 2 4 = 1

A integral de 1 d x d y nada mais é do que a área.

- 3 ∬ D     d x d y = - 3 Á r e a   d e   D

Pow, área de elipses são conhecida, basta a gente colocar na forma geral de elipse...

x 2 a 2 2 + y - a 2 2 a 2 2 = 1  

Então sua área é o produto de a / 2 por a / 2 e π ...

- 3 Á r e a   d e   D = - 3 a 2 ⋅ a 2 ⋅ π =

- 3 a 2 2 π 4

Veja que pelo teorema de Stokes de fato a integral de linha vale...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - 3 a 2 2 π 4

Como o sinal foi o mesmo encontrado, então o sentido que arbitramos para o sentido da curva está correto 😉

Resposta

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - 3 a 2 2 π 4

A curva gira no sentido anti-horário quando vista de cima.

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