O anel de resistência elétrica R , contido no plano x y , é constituído por um condutor elástico, o que possibilita variações de seu raio r .

Durante o intervalo de tempo 0 ≤ t < r 0 / α o raio do anel diminui segundo a equação r t = r 0 - α t , onde α > 0 é constante. O campo magnético B → = B 0 k ^ presente na região é uniforme e ortogonal ao plano x y .

Nas perguntas abaixo considere o tempo t apenas no intervalo 0 ≤ t < r 0 / α .

a ) Determine a força eletromotriz induzida no anel em função de t .

b ) Calcule a corrente induzida no anel e determine o seu sentido (horário ou anti-horário).

c ) Calcule o campo magnético produzido pela corrente induzida no centro O do anel. Se você não resolveu o item b deixe sua resposta em função da corrente induzida I i n d .

Passo 1

a ) Determine a força eletromotriz induzida no anel em função de t .

A força eletromotriz induzida no anel é dada pela lei de Faraday:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Onde o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B 0 π r t 2

Substituindo a expressão de r t dada pelo problema, teremos:

ϕ B = B 0 π r 0 - α t 2

Voltando para a expressão de ε , teremos:

ε = - ∂ ∂ t B 0 π r 0 - α t 2

ε = 2 B 0 π r 0 - α t α

Passo 2

b ) Calcule a corrente induzida no anel e determine o seu sentido (horário ou anti-horário).

Agora que já calculamos a f e m induzida, a nossa vida ficou um pouco mais fácil.

I i n d = ε R

I i n d = 2 B 0 π α R r 0 - α t

Passo 3

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz que:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

É o seguinte... se o fluxo magnético está aumentando, a corrente induzida gerará um campo magnético no sentido contrário ao fluxo (nesse caso, a corrente estaria no sentido horário), querendo “atrapalhar” o fluxo.

Se o fluxo magnético está diminuindo, a corrente induzida gerará um campo magnético no mesmo sentido do fluxo (nesse caso, a corrente estaria no sentido anti-horário), querendo “ajudar” o fluxo.

Aqui, como o campo magnético é uniforme e constante e o raio está diminuindo com o tempo (logo, a área também está diminuindo), o fluxo magnético está diminuindo, logo, a corrente induzida está no sentido anti-horário.

Passo 4

c ) Calcule o campo magnético produzido pela corrente induzida no centro O do anel. Se você não resolveu o item b deixe sua resposta em função da corrente induzida I i n d .

Podemos calcular o campo magnético através da lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde os vetores d l → e r ^ estão representados abaixo:

Daqui podemos tirar que d l → × r ^ = d l   z ^ = r t d θ   z ^ .

Logo, substituindo na expressão de B → , teremos:

B → O = μ 0 I i n d 4 π ∫ 0 2 π r t d θ r t 2   z ^

B → O = μ 0 I i n d 4 π r t ∫ 0 2 π d θ   z ^

B → O = 2 π μ 0 I i n d 4 π r t z ^

B → O = μ 0 I i n d 2 r t z ^

Pra finalizar, temos apenas que substituir a expressão que encontramos para I i n d .

B → O = μ 0 2 r t 2 B 0 π α R r 0 - α t z ^

B → O = μ 0 r t B 0 π α R r 0 - α t z ^

Como r t = r 0 - α t , teremos:

B → O = μ 0 r 0 - α t B 0 π α R r 0 - α t z ^

B → O = μ 0 B 0 π α R z ^

Resposta

a )

ε = 2 B 0 π r 0 - α t α

b )

I i n d = 2 B 0 π α R r 0 - α t

A corrente induzida está no sentido anti-horário.

c )

B → O = μ 0 B 0 π α R z ^

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