A barra E F de comprimento L e resistência R está apoiada sobre o trilho A B C D fixo, indeformável e de resistência desprezível, conforme mostra a Figura. Os lados A B e C D são muito longos. O fio muito longo e retilíneo alinhado com o eixo y conduz a corrente constante I . Um agente externo exerce uma força de módulo F e x t sobre a barra, que a afasta do fio com velocidade V constante no sentido positivo do eixo x , de modo que b = V t .

a ) Determine o vetor campo magnético gerado pelo fio muito longo em um ponto arbitrário do semipleno x > 0 ,     y .

b ) Calcule o fluxo magnético através da espira E B C F em função dos dados fornecidos.

c ) Calcule a corrente induzida na espira em função dos dados fornecidos e, justificando, indique seu sentido (horário ou anti-horário).

Passo 1

a ) Determine o vetor campo magnético gerado pelo fio muito longo em um ponto arbitrário do semiplano x > 0 ,     y .

O campo magnético é determinado através da lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

No caso do fio, a nossa amperiana será um círculo de raio r , que envolve o fio de corrente I . Assim, a lei de Ampère pode ser simplificada pra:

2 π r B = μ 0 I

Mas como estamos interessados no campo magnético no semiplano x > 0 ,     y , a distância do ponto em que estamos calculando o campo magnético ao fio será x , logo:

2 π x B = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π x

De acordo com a regra da mão direita, orientando no sentido da corrente, o vetor campo magnético, no semiplano x > 0 ,     y , será:

B → = - μ 0 I 2 π x z ^

Passo 2

b ) Calcule o fluxo magnético através da espira E B C F em função dos dados fornecidos.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Como o campo magnético atravessa a espira perpendicular a ela, os vetores B → e d A → serão paralelos, logo:

ϕ B = ∬ S   B   d A

Onde:

B = μ 0 I 2 π x

d A = L   d x

d < x < d + V t

Logo:

ϕ B = ∫ d d + V t μ 0 I 2 π x L   d x = μ 0 I L 2 π ∫ d d + V t d x x

ϕ B = μ 0 I L 2 π ln ⁡ d + V t d

Passo 3

c ) Calcule a corrente induzida na espira em função dos dados fornecidos e, justificando, indique seu sentido (horário ou anti-horário).

Pra calcular a corrente induzida, primeiro vamos ter que calcular a f e m   induzida, que é determinada através de lei de Faraday:

ε i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

ε i n d = - ∂ ∂ t μ 0 I L 2 π ln ⁡ d + V t d

ε i n d = - μ 0 I L 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ d + V t d

ε i n d = - μ 0 I L 2 π V d + V t  

A corrente será dada por:

ε i n d = R I i n d → I i n d = ε i n d R

I i n d = μ 0 I L 2 π R V d + V t

Passo 4

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela diz é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Como o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = μ 0 I L 2 π ln ⁡ d + V t d

∂ ϕ B ∂ t = μ 0 I L 2 π V d + V t

Logo:

∂ ϕ B ∂ t > 0

Isso significa que o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Nesse caso, o campo magnético induzido estará saindo do plano da página. Para que isso ocorra, a corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.

Resposta

a )

B → = - μ 0 I 2 π x z ^

b )

ϕ B = μ 0 I L 2 π ln ⁡ d + V t d

c )

I i n d = μ 0 I L 2 π R V d + V t

A corrente induzida está no sentido anti-horário.

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