A barra condutora de comprimento l e massa m cai no campo gravitacional escorregando sem atrito sobre um fio condutor na forma de um U ligado a um resistor de resistência R , conforme a figura. O conjunto forma um circuito na vertical que se encontra na presença de um campo magnético uniforme B → na direção perpendicular ao plano do circuito.

  1. Qual é o sentido da corrente induzida no circuito? Justifique.
  2. Calcule a f.e.m. induzida no circuito em termos do módulo v t da velocidade instantânea da barra na direção vertical.
  3. Determine a velocidade terminal v t e r m da barra e a corrente I t e r m que passa no circuito quando ela se encontra neste velocidade.
  4. Calcule a potência dissipada pelo sistema na situa do item (c) e mostre que ela é igual à potência fornecida ao sistema pelo campo gravitacional.

Passo 1

  1. Qual é o sentido da corrente induzida no circuito? Justifique.
  2. A Lei de Lenz diz que:

    O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

    Mas basicamente o que nós precisamos interpretar disso é que:

    Se o fluxo do campo magnético está aumentando, o campo induzido tenta atrapalhar ele (corrente no sentido horário). Se o fluxo está diminuindo, o campo induzido tenta ajudar ele (corrente no sentido anti-horário).

    Ok! O fluxo do campo magnético é dado por (no caso de um campo magnético uniforme):

    ϕ B = B → ∙ A →

    ∂ ϕ B ∂ t = ∂ ∂ t B → ∙ A →

    O campo magnético é constante e está entrando na folha, portanto, ele é negativo.

    ∂ ϕ B ∂ t = - B ∂ A ∂ t

    Como a barra está descendo, a área está aumentando, isso faz com que a variação da área com o tempo seja positiva:

    ∂ A ∂ t > 0

    Logo:

    ∂ ϕ B ∂ t < 0

    Opa! Como o fluxo do campo magnético está diminuindo, a corrente estará no sentido anti-horário.

    Passo 2

  3. Calcule a f.e.m. induzida no circuito em termos do módulo v t da velocidade instantânea da barra na direção vertical.
  4. Pela Lei de Faraday:

    ε = - ∂ ϕ B ∂ t

    Opa! Já fizemos quase todo o trabalho no passo anterior. Vimos antes que:

    ∂ ϕ B ∂ t = - B ∂ A ∂ t

    ε = B ∂ A ∂ t

    A área será dada por A = l z . Onde l é a largura a barra (e do circuito), e z é a altura do circuito.

    ε = B ∂ l z ∂ t = B l d z d t

    ε = B l v

    Passo 3

  5. Determine a velocidade terminal v t e r m da barra e a corrente I t e r m que passa no circuito quando ela se encontra neste velocidade.
  6. A força magnética sobre a barra é dada por:

    F B → = I l → × B →

    Lembrando que l → terá o sentido da corrente que passa pela barra. Logo, pela regra da mão direita:

    F B → = - I l B k ^

    Pela segunda lei de Newton:

    m a = - I l B + m g

    Ah! Nós podemos associar a corrente com a fem calculada por:

    I = ε R

    Onde ε = B l v , logo:

    I = B l v R

    Voltando para a segunda Lei de Newton:

    m a = - B 2 l 2 v R + m g

    A barra alcançará a velocidade terminal quando a = 0 . Logo:

    m g = B 2 l 2 v t e r m R

    v t e r m = m g R B 2 l 2

    Para calcular a corrente, basta jogar na fórmula que escrevemos logo aqui em cima:

    I = B l v R

    I t e r m = B l v t e r m R

    I t e r m = B l R   m g R B 2 l 2

    I t e r m = m g B l

    Passo 4

  7. Calcule a potência dissipada pelo sistema na situa do item (c) e mostre que ela é igual à potência fornecida ao sistema pelo campo gravitacional.

Por definição:

P = I 2 R

Na letra (c), nós calculamos a corrente terminal. Logo:

P d i s = I t e r m 2 R

P d i s = R m g B l 2

Para a potência gravitacional:

P g r a v = m g v t e r m = m g m R g B 2 l 2

P g r a v = R m g B l 2

Resposta

  1. Sentido anti-horário.
  2. ε = B l v

  3. v t e r m = m R g B 2 l 2

    I t e r m = m g B l

P d i s s = P g r a v = R m g B l 2

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