Considere uma espira retangular de lado maior a e de lado menor b , situada no plano xy (veja figura abaixo). Aplica-se um campo magnético externo que varia no tempo de acordo com a expressão B e x t t = B 0 t 2   k , onde B 0 é uma constante dada em T / s 2 e t é o tempo em s .

(a) Calcule a magnitude do fluxo magnético, | ϕ ( t ) | , através da espira.

(b) (1,0 ponto) Qual é o sentido da corrente induzida na espira (horário ou anti-horário)? Justifique sua resposta!

(c) (0,5 ponto) Supondo que a espira tenha resistência R , calcule a magnitude da corrente induzida, I i n d , em um instante t qualquer.

Passo 1

Cara, nesse problema daqui vamos ter que...

  1. Na letra A, calcular o fluxo ϕ do campo magnético B e x t dentro da espira. O que pode ser feito usando a definição de fluxo...
  2. ϕ = ∬ S   B e x t ⋅ n →   d A

  3. Na letra B, já vamos ter que definir o sentido da corrente na espira o que pode ser feito usando a lei de Lenz.
  4. Na letra C, por sua vez teremos que primeiro encontrar a f e m   ε induzida na espira (usando a Lei de Faraday) e depois calcularmos a corrente por lei de Ohm...

I i n d = ε R

Vamos nessa?

Passo 2

L e t r a   A :

Cara, repare que a nossa espira possui uma região S plana onde o vetor de direção da área d A (vetor n → perpendicular a área), no caso tem o sentido da direção z ^ ...

Então, podemos dizer que...

n → = z ^

Ou ainda...

n → = 1   k

Logo, o produto escalar entre o campo magnético B → e o vetor normal n → ...

B → ⋅ n → = B 0 t 2   k ⋅ 1   k   →

B → ⋅ n → = B 0 t 2 ⋅ 1   →

B → ⋅ n → = B 0 t 2

Logo, a integral de superfície se resume a uma...

ϕ = ∬ S   B → ⋅ n →   d A   →

ϕ = ∬ S   B 0 t 2   d A   →

ϕ = B 0 t 2 ∬ S   d A   →

ORA! A integral de d A , de acordo com a nossa teoria de calculo, representa a área da superfície S (do retângulo de lado a e b )...

ϕ = B 0 t 2   a b

Logo, a magnitude do fluxo é...

ϕ t = a b B 0   t 2

Passo 3

L e t r a   B :

Ora... Aqui temos que discutir um pouquinho sobre a Lei de Lenz...

A lei de Lenz nos fala que em uma espira imersa em um campo magnético externo cujo fluxo varia com o tempo t , surge na espira uma corrente de modo que o campo magnético induzido por essa corrente se opõe a variação do fluxo externo.

Então, se na nossa espira temos um fluxo de um campo externo que aumenta na direção positiva do eixo z , a corrente induzida tem que ser de modo que reduza esse fluxo, ou seja, ela deve circular no sentido horário. Assim, pela regra da mão direita...

O fluxo induzido terá sentido para dentro (em - z ^ ) e portanto ele vai se opor ao variação externa, como nos diz Lenz, saca?

Passo 4

L e t r a   C :

Com o fluxo do campo magnético calculado, podemos então determinar a força eletromotriz ε pela derivada da Lei de Faraday...

ε = d ϕ d t   →

ε = d d t a b B 0   t 2   →

ε = 2 a b B 0   t

Logo, a corrente induzida em função do tempo será...

I i n d = ε R   →

I i n d = 2 a b B 0   t R   →

Como ele nos pede o módulo da corrente em um instante qualquer, vamos pegar no instante t = 1 s ...

I i n d = 2 a b B 0   R

Resposta

Letra A:

ϕ t = a b B 0   t 2

Letra B: Sentido Horário pela Lei de Lenz.

Letra C:

e m   t = 1 s       →       I i n d = 2 a b B 0   R

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