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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

Passo 1

Vamos dar uma olhada em como ficaria o gráfico dessas funções.

A curva em azul é y = - sen ⁡ 2 x   e em vermelho y = sen ⁡ ( x ) .

Igualando as curvas, vemos que no intervalo entre 0 e π , as funções se encontram em 3 pontos:

sen ⁡ x = - sen ⁡ ( 2 x )

x = 0  

x = π

x = 2 π 3

Passo 2

Para calcular a área entre as curvas vamos fazer a integral. Entre 0   e 2 π 3 a curva de cima é y = sen ⁡ x , então

∫ 0   2 π 3 sen ⁡ ( x ) - - sen ⁡ 2 x d x

E entre   2 π 3 e π , a curva por cima é y = - sen ⁡ 2 x .   Logo,

∫   2 π 3 π - sen ⁡ 2 x - sen ⁡ ( x ) d x

Então a área entre as curvas será

A = ∫ 0   2 π 3 sen ⁡ ( x ) + sen ⁡ ( 2 x ) d x + ∫   2 π 3 π - sen ⁡ 2 x + sen ⁡ x d x

Passo 3

Integrando ficamos com

A = - cos ⁡ x - 1 2 cos ⁡ 2 x 0   2 π 3 + 1 2 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ x   2 π 3 π

A = - cos ⁡   2 π 3 + cos ⁡ 0 - 1 2 cos ⁡   4 π 3 + 1 2 cos ⁡ 0 + 1 2 cos ⁡ ( 2 π ) - 1 2 cos ⁡   4 π 3 + c o s ⁡ ( π ) - cos ⁡   2 π 3

A = 5 2

Resposta

∫ 0 2 π 3 sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x d x + ∫ 2 π 3 π - sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x d x = 5 2

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