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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

Calcule a área do conjunto A :

A = x , y ∈ R 2 ; 2 2 ≤ x ≤ 3 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 1 - x 2 3 2

Passo 1

A área vai ser dada pela integral:

∫ 2 2 3 2 1 1 - x 2 3 2 - 0 d x = ∫ 2 2 3 2 1 1 - x 2 3 d x

Esse termo 1 - x 2 vai ser nossa deixa pra usar uma substituição trigonométrica:

x = sen ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

⇒ 1 - x 2 = 1 - sen 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ

Adaptando os limites de integração:

x = sen ⁡ θ ⇔ θ = arcsen ⁡ x

x = 2 2 → θ = π 4

x = 3 2 → θ = π 3

Passo 2

Então a integral vai ficar:

∫ 2 2 3 2 1 1 - x 2 3 d x = ∫ π 4 π 3 1 cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 π 3 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= tg ⁡ θ π 4 π 3 = tg ⁡ π 3 - tg ⁡ π 4

Passo 3

Temos que

tg ⁡ π 3 = sen ⁡ π 3 cos ⁡ π 3 = 3 2 1 2 = 3

tg ⁡ π 4 = sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 = 2 2 2 2 = 1

Então nossa integral vai dar

3 - 1

Resposta

3 - 1

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