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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFSC - Lista 2.1 - Áreas entre curvas, Questão P2c

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

c) y = cos ⁡ x , y = cos 2 ⁡ x , x = 0 e x = π 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = cos ⁡ x , y = cos 2 ⁡ x , x = 0 e x = π 2 , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que ela é limitada verticalmente por y = cos ⁡ x (curva em cinza) e y = cos 2 ⁡ x (curva em verde) e horizontalmente por x = 0 e x = π 2 . Dessa forma, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = cos ⁡ x , f x = cos 2 ⁡ x e a ,   b = 0 , π 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x   d x

Antes de integrar, vamos reescrever a função cosseno ao quadrado usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 pra facilitar nossa vida:

A = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x - 1 2 - 1 2 cos ⁡ ( 2 x )   d x

Assim, integrando, vamos obter:

A = sin ⁡ ( x ) - 1 2 x - 1 4 sin ⁡ ( 2 x ) 0 π / 2

Aplicando os limites de integração:

A = sin ⁡ π 2 - 1 2 π 2 - 1 4 sin ⁡ 2 ∙ π 2 - sin ⁡ 0 + 1 2 ( 0 ) + 1 4 sin ⁡ ( 2 ∙ 0 )

A = sin ⁡ π 2 - π 4 - 1 4 sin ⁡ π - sin ⁡ 0 + 1 2 0 + 1 4 sin ⁡ 0

Como sin ⁡ π = 0 , sin ⁡ π 2 = 1 e sin ⁡ ( 0 ) = 0 , temos:

A = 1 - π 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1 - π 4

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