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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFSC - Lista 2.1 - Áreas entre curvas, Questão P2b

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

b) y = sin ⁡ ( 2 x ) , x = 0 , x = π 4 e y = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = sin ⁡ ( 2 x ) , x = 0 , x = π 4 e y = 0 , que é essa aqui em amarelo:

Repare que ela é limitada verticalmente por y = 0 e y = sin ⁡ ( 2 x ) e horizontalmente por x = 0 e x = π 4 . Dessa forma, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = sin ⁡ ( 2 x ) , f x = 0 e a ,   b = 0 , π 4 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ 0 π / 4 sin ⁡ ( 2 x ) - 0   d x = ∫ 0 π / 4 sin ⁡ ( 2 x )   d x

Integrando, vamos obter:

A = - 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) 0 π / 4

Aplicando os limites de integração:

A = - 1 2 cos ⁡ 2 ∙ π 4 + 1 2 cos ⁡ ( 2 ∙ 0 )

A = - 1 2 cos ⁡ π 2 + 1 2 cos ⁡ ( 0 )

Como cos ⁡ π 2 = 0 e cos ⁡ ( 0 ) = 1 , temos:

A = - 1 2 0 + 1 2 ( 1 )

A = 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1 2

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Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x