Determine a área da região limitada compreendida entre as curvas e .
Passo 1
Show de bola. Pra começarmos uma questão de cálculo de área entre curvas temos que lembrar de uma coisa muito importante: os pontos de interseção entre as curvas nos dão pistas de quais serão os limites de integração! Então a primeira coisa que faremos é achar esses pontos:
Igualando, temos:
Um dos valores de que satisfaz essa equação já vimos que será . Os outros, achamos ao igualar:
Beleza, polinômio de segundo grau a gente tira de letra se usarmos o que o tio Bháskara nos ensinou, que no caso é:
Vamos ter então:
E temos aí já três pontos interessantes pra escolhermos como limites de integração:
Como é o menor deles e é o maior deles, a função vai estar delimitada necessariamente para . Mas com o , conseguimos separar intervalos bacanas onde depois iremos analisar a posição relativa das curvas. São eles:
Passo 2
Beleza. Analisar a posição relativa das curvas é o mesmo que ver em quais intervalos determinada curva está por cima ou por baixo da outra. Chamando carinhosamente cada uma de
O que fizemos no passo anterior foi igualar e jogar pro lado:
Se chamarmos de essa função de diferença e buscarmos lá de cima a sua expressão, vamos ver que:
Show de bola! Nota o seguinte galera, se:
- Curva acima da
- Curva acima da
No primeiro intervalo que vimos no passo , isto é, , podemos testar qualquer valor dentro dele pra ver o sinal de . Por exemplo, :
E pro segundo intervalo, , podemos testar por exemplo :
Fechamos as posições relativas! Vamos ter que:
- Em ; Curva acima da
- Em ; Curva acima da
- Em ; Curva acima da
- Em ; Curva acima da
Passo 3
E agora sim a gente vai finalizar a questão! Como:
Pra que possamos usar as integrais para calcular a área e o resultado não de negativo, temos que fazer, para cada intervalo:
Mas como:
Vamos ter nas integrais:
Resolvendo:
Como os termos são iguais a zero, já que todo o interior do colchete é multiplicado por , simplificamos para
Aplicando os valores, temos: