Calcule a área da região limitada pelas curvas e . Faça um esboço da região.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas:
O enunciado nos pede para esboçar a área limitada por essas curvas e calculá-la.
Para esboçar as curvas, vamos, primeiro entender melhor as funções dadas:
Isso é uma hipérbole. O gráfico vai ser algo assim
Mas repara que o é uma raiz quadrada, isso nos diz que ele é positivo, então vamos pegar só a parte de cima.
Passo 2
Agora vamos fazer
Ela vai ficar
Agora que já podemos esboçar as funções, o próximo passo é igualar as suas equações para acharmos os pontos que elas se interceptam.
Depois, calcularemos a área da região limitada por elas através de integrais.
A nossa área vai ficar então
Entre o verde e o rosa.
Passo 3
Igualando as funções:
Esboço da região :
Pela simetria, podemos dizer que a área de é:
Passo 4
Vamos calcular a integral: .
Como aparece a expressão , vamos tentar a substituição trigonométrica:
Mudando os limites de integração:
Aplicando:
Passo 5
Resolvendo a segunda integral por partes:
Calculando:
Substituindo na expressão inicial:
OBS:
Nesse problema, o enunciado nos pediu explicitamente que teríamos que esboçar a região entre as curvas. Portanto, para fazer isso, tivemos que usar conceitos de derivada primeira e derivada segunda para acharmos a concavidade, ponto de mínimo, etc.
É bom estar com esses conceito frescos na hora da prova. Além disso, é bom saber equações de algumas curvas conhecidas:
Resposta
A área é da região é igual a