UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P3 - 2008.2, Questão 2
Qual é a área do laço cercado pela curva
quando ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da curva polar definida pela equação , quando . Pra isso, a gente pode usar a fórmula de área para curvas polares:
Onde é o nosso intervalo e é a nossa curva . Então, vamos substituir na fórmula da integral e calcular nossa área.
Vamos lá!
Passo 2
Substituindo e o intervalo na integral de área, temos:
Elevando ao quadrado:
Colocando a constante pra fora da integral e escrevendo a potência como um produto, temos:
Agora nós podemos usar a identidade trigonométrica , na forma:
Substituindo na integral:
Passo 3
Tá, mas como isso nos ajuda? Repare que agora temos uma função e a derivada dessa função, quando isso acontece nós podemos pensar em usar a integração por substituição. Chamando:
Derivando, temos:
Substituindo isso na nossa integral fica:
E ficou mais fácil de integrar, né? Basta usar a regrinha da potência ():
Mas nós temos que voltar a variável original antes de aplicar os limites de integração. Usando que nós definimos lá em cima:
Agora sim, aplicando os limites de integração:
Simplificando, temos nossa área:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉