2. Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelo eixo dos , pela reta e pela curva . Faça um esboço da região, identificando claramente todos os pontos de interseção.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o que problema nos da dois comandos: calcular a área e esboçar a região.
Então vamos começar desenhando a região, identificando nela os limites de integração e depois integrando para achar a área.
Bora lá!
Passo 2
A região que o problema descreve é limitada pelo eixo , pela reta e pela curva
Então vamos começar vendo onde as retas e a curva se cruzam. Vamos fazer isso igualando as duas equações.
Ajeitando,
Resolvendo essa igualdade, temos que e .
Também é importante vermos onde ela intercepta o eixo , pois ele é um limitante. Para isso, temos que fazer em cada equação.
Para reta , temos
Para a curva , temos
Agora vamos desenhar os seguimentos com todas as interseções. Lembrando que só estamos interessador na região do primeiro quadrante (marcada em laranja).
Agora vamos montar a nossa integral!
Passo 3
Para calcular a área da região que acabamos de encontrar, vamos precisar entender os limites de integração.
No eixo , ela está sendo limitada entre os pontos e .
Já no eixo , ela está sendo limitada entre as equações e .
Sendo assim, a nossa integral ficará,
Logo, nossa área será
Vamos agora encontrar a nossa área!
Passo 4
Podemos separar a nossa integral em duas partes,
Resolvendo o segundo termo, ficamos com
Agora vamos para o primeiro termo!
Passo 5
Para resolver a integral
Vamos usar uma substituição simples, onde
Logo,
Resolvendo, ficamos com
Voltando para a nossa integral inicial, teremos
Passo 6
Juntando tudo, ficamos com