Seja a região do primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e por . Suponha que a reta divida em duas sub-regiões de mesma área. Então vale:
Passo 1
Vamos começar esboçando essa região :
Passo 2
Acrescentando a reta , que divide em duas sub-regiões de mesma área :
Passo 3
Então vamos calcular essa área . A forma mais inteligente de fazer isso vai ser integrando em relação a . Mas pra isso temos que escrever a curva como função de :
Como na região , temos:
Portanto, temos:
Passo 4
Pra integrar isso aí fazemos a substituição simples:
Assim, a integral indefinida fica:
Passo 5
Usando a equação que achamos antes:
Vamos ter:
Esse já podemos cortar:
Desenvolvendo:
Passo 6
Temos que
Ou seja:
Resposta
Letra (a)
Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x