UFABC; Cálculo 1; Lista 9 – Funções de Uma Varável – Aplicações de Integração; Exercício 2b
2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável ou . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
b)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.
Inserindo no gráfico:
Agora, vamos inserir :
Segundo o gráfico, podemos concluir que eles se tocam em e em algum lugar muito próximo de . Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde e é o intervalo da nossa integração:
Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de , nossa integral deve ser com a variável .
A partir de agora, podemos voltar para o conceito normal de área por integral:
Quando realizamos a integração de uma função qualquer entre os pontos definidos e , encontramos a sua área.
Então, se integramos a curva (que chamaremos de a partir de agora) entre os pontos e , obteremos a seguinte área hachurada:
Vamos chamar essa área de .
Da mesma forma, se integrarmos a curva (que chamaremos de a partir de agora) entre os pontos e , obteremos a seguinte área hachurada:
Vamos chamar essa área de .
Como queremos encontrar a área pintada de cinza, com certeza você já percebeu que é só subtrair de .
Matematicamente, o que precisamos fazer então, é integrar a diferença entre e no intervalo de a :
Passo 2
A partir de agora, vamos calcular a integral definida!
Como há a subtração dentro da integral:
E agora podemos integrar:
Passo 3
Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:
Simplificando:
Calculando:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Respostas no desenvolvimento do exercício.