2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável x ou y . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

b) y = sin(x), y = x^2

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.

Inserindo y = s i n s i n   ( x )   no gráfico:

Agora, vamos inserir y = x 2 :

Segundo o gráfico, podemos concluir que eles se tocam em x = 0 e em algum lugar muito próximo de x = 0,8767 . Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde x = 0 e x = 0,8767 é o intervalo da nossa integração:

Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de x , nossa integral deve ser com a variável x .

A partir de agora, podemos voltar para o conceito normal de área por integral:

Quando realizamos a integração de uma função qualquer entre os pontos definidos a e b , encontramos a sua área.

Então, se integramos a curva y = s i n s i n   ( x )   (que chamaremos de f ( x ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 0,8767 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 1 .

Da mesma forma, se integrarmos a curva y = x 2 (que chamaremos de g ( x ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 0,8767 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 2 .

Como queremos encontrar a área pintada de cinza, com certeza você já percebeu que é só subtrair A 2 de A 1 .

Matematicamente, o que precisamos fazer então, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de 0 a 0,8767 :

∫ 0 0,8767 f x - g x   d x

Passo 2

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ 0 0,8767 s i n s i n   ( x )   - ( x 2 )   d x

Como há a subtração dentro da integral:

∫ 0 0,8767 s i n s i n   ( x )     d x - ∫ 0 0,8767 x 2   d x

E agora podemos integrar:

- c o s c o s   x   - x 3 3 |   0,8767   0  

Passo 3

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

- 0,639691 - 0,67383 3 - - 1 - 0 3 3

Simplificando:

- 0,864301 + 1

Calculando:

0,135699   u . a .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Respostas no desenvolvimento do exercício.

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