Esboce as regiões do plano delimitadas pelos gráficos e e calcule a área de cada uma dessas regiões.
Passo 1
Cara, para esboçar essa região, a gente precisa esboçar as curvas e no mesmo plano, e identificar as regiões que estão entre elas, beleza? E como a gente faz isso?
Essa primeira é uma função simples, que esperam que a gente saiba a carinha já. A cara dela é essa
Passo 2
E é uma parábola virada para baixo. Uma forma de localizá-la é achar pontos que pertencem a ela: podemos tentar achar os pontos onde ela corta os eixos coordenados.
- para , : ponto
- e para achar as raízes dessa parábola, fazemos
Até agora temos os pontos e. Precisamos de mais um. Podemos achar o ponto de máximo dessa parábola. Ele acontece onde .
Substituindo em , achamos o terceiro ponto . Fazendo uma parábola virada para baixo que passa por esses pontos, a gente tem:
Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando as regiões entre elas:
Passo 3
E para achar a área entre curvas que são funções de , a gente precisa montar a fórmulinha:
A representa a função que limita a nossa região por cima, e a função que limita a nossa região por baixo. Mas repara que isso muda da região que está à esquerda do eixo , (a azul, que vamos achar de ) para a que está à direita , a amarela).
Vamos montar duas integrais então!
Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região azul por cima é a e quem limita por baixo é a função . Aí a gente tem que para esse caso, o nosso integrando fica:
Já para a região amarela, vemos que quem limita por cima é a e quem limita por baixo é a função . Aí a gente tem que para esse caso, o nosso integrando fica:
Passo 4
Falta a gente achar os extremos de integração, que são esses valores de e . A gente vê no gráfico que isso são as coordenadas , dos pontos onde há interseção entre as nossas curvas.
A gente tem
Igualando essas duas expressões para :
Daí a gente tira que:
E aí as nossas integrais ficam:
Podemos confirmar no gráfico que essa região está no intervalo . E para a região da direita, que ela está no intervalo :
Passo 5
Agora é calcular essas belezuras. Para as duas integrais, a gente vai usar a regrinha de integrar polinômios:
Vamos para a da direita:
Resposta
