Área entre Curvas
Na figura abaixo, sabendo que , a reta é a reta horizontal e a reta é tangente ao gráfico da em , ache a área da região cinza.
Passo 1
Podemos começar encontrando a equação da reta . Sabemos que ela é tangente à função em . Pela equação da reta tangente à função num ponto temos:
Temos que:
Sabemos também que:
Portanto:
Passo 2
Substituindo tudo:
Ou seja:
É a equação da reta .
Agora precisamos saber onde é o ponto de encontro entre e para montar nossa integral:
Igualando:
Ou seja, é o ponto:
Passo 3
Fazendo a integral, temos que a área é igual à:
Simplesmente pelo fato de subtrair a área do cosseno do limitante superior, que são as retas e . Calculando:
Plugando os limites de integração:
Obtemos, finalmente, que:
Passo 4
Substituindo tudo de volta, temos:
Arrumando:
Resposta
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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x