UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Prof° Edison Figueiredo - 1ª Lista, Questão 19
Calcule a área da região compreendida entre as parábolas e .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que calcular a área da região delimitada pelas parábolas
e
que são parábolas “deitadas” da seguinte forma
O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como
Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Neste caso é uma escolha do que integrar primeiro sem precisar de mudanças de coordenadas! Saca só!
Passo 2
Note que temos que a variável vai da parábola “verde” até a “vermelha”, então, temos que
a interseção entre as duas parábolas ocorre em
de forma que
A integral se torna então
Como a região não é retangular, a ordem de integração importa, e devemos resolver primeiro a integral em , pois seus limites dependem de ! Bora lá!
Passo 3
Temos que a integral em é da forma
simplificando alguns termos temos que
De forma que a área será dada por
ela pode ser separada em duas integrais da forma
Essas integrais podem ser identificadas como
e, analogamente
E, finalmente, a área pode ser escrita como
ou simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!