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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

Área entre Curvas

Calcule a área da região limitada compreendida entre os gráficos de f x = x 2 1 - x 2 e g x = x 2 x - 1 .

Passo 1

Vamos procurar primeiro aonde os gráficos se encontram para saber que região procuramos:

f x = g x

x 2 1 - x 2 = x 2 x - 1

1 - x 2 = x - 1

1 - x 2 = x - 1 2

1 - x 2 = x 2 - 2 x + 1

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

x = 0 ; x = 1

Como vemos, existem dois pontos de encontro, o que significa que a região que nos interessa está nesse intervalo. Para saber qual função está por cima e qual está por baixo podemos substituir um ponto qualquer dentro de 0,1 e analisar qual é o maior:

f 1 2 = 1 2 2 1 - 1 2 2 = 3 8

g 1 2 = 1 2 2 1 2 - 1 = - 1 8

Como vemos, nesse intervalo teremos f x > g x . Nossa área vai ser dada assim então:

A = ∫ 0 1 f x - g x d x

Passo 2

Vamos resolver agora:

∫ 0 1 x 2 1 - x 2 - x 2 x - 1 d x

= ∫ 0 1 x 2 1 - x 2 d x - ∫ 0 1 x 3 - x 2 d x

A segunda integral é fácil de resolver:

∫ 0 1 x 3 - x 2 d x = x 4 4 - x 3 3 [ 1 0

= 1 4 - 1 3 - 0 4 - 0 3

= - 1 12

Passo 3

Na primeira integral aquele termo dentro da raiz puxa para o método da substituição trigonométrica. Nesse caso, a substituição é por seno:

x = a sen ⁡ θ = sen ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

1 = sen ⁡ θ s u p → θ s u p = π 2

0 = sen ⁡ θ i n f → θ i n f = 0

∫ 0 1 x 2 1 - x 2 d x = ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Nesse intervalo aí o cos ⁡ θ = cos ⁡ θ , então:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ 4 d θ

Tem uma relação trigonométrica que diz o seguinte:

sen 2 ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2

Assim, podemos fazer o seguinte:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ 4 d θ = ∫ 0 π 2 1 4 1 - cos ⁡ 4 θ 2 d θ

= 1 8 θ - sen ⁡ 4 θ 4 [ π 2 0

= 1 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - 0 - sen ⁡ 0 4

= 1 8 π 2 - 0 - 0 - 0

= π 16

Passo 4

O resultado vai ser, portanto, esse aqui:

A = π 16 - - 1 12 u . a .

Resposta

A = π 16 + 1 12 u . a .

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