1. Calcule a integral abaixo

∬ R y 2 d x d y

Onde R   é o triangulo do plano cartesiano x y cujos vértices são 0,0 , 0,1 e 1,1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos um integralzinha para resolver, porém ele não deu os limites de integração. Só sabemos que ela está limitada na região R , que é um triangulo cujos vértices são 0,0 , 0,1 e 1,1 . Então vamos começar desenhando essa região para encontrar os limites de integração.

Agora vamos achar os nossos limites de integração e montar a intregal.

Passo 2

Repara que x varia de 0 até 1 (seta horizontal) e y de 0 até 1 também (seta vertical).

Opaaa! Com isso, nós temos os nosso limites de integração e podemos montar a nossa integral,

∫ 0 1 ∫ 0 1 y 2 d x d y

Agora vamos resolver a nossa integral!

Passo 3

Toda integral dupla nós sempre resolvemos de dentra para fora. Ou seja, primeiro vamos integrar em função de x e depois integraremos em função de y .

∫ 0 1 ∫ 0 1 y 2 d x d y

Integrando em função de x , vamos considerar y 2 uma constante. Logo,

= ∫ 0 1 y 2 x 1 0 d y

Substituindo os limites de integração, ficamos com

= ∫ 0 1 y 2 1 - 0 d y = ∫ 0 1 y 2 d y

Agora intengramos em função de y ,

∫ 0 1 y 2 d y = y 3 3 | 1 0 = 1 3 3 - 0 3 3 = 1 3

Prontinho!

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 y 2 d x d y = 1 3

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