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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1p

Exercício 1. Calcule

(p) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x + y com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x

Integrando com relação a y pelo método de substituição fazendo u = x + y e consequentemente d u = d y ...

∫ x + y d y = ∫ u d u

∫ u d u = 2 3 u 3

∫ x + y d y = 2 3 x + y 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 x + y d y = 2 3 x + 1 3 - 2 3 x + 0 3

∫ 0 1 x + y d y = 2 3 x + 1 3 - 2 3 x 3

∫ 0 1 x + y d y = 2 3 x + 1 3 - x 3

Integrando o resultado em função de x pelo mesmo método...

∫ 2 3 x + 1 3 - x 3 d x = 2 3 2 5 x + 1 5 - 2 5 x 5

∫ 2 3 x + 1 3 - x 3 d x = 4 15 x + 1 5 - x 5

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = ∫ 0 1 2 3 x + 1 3 - x 3 d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = 4 15 1 + 1 5 - 1 5 - 4 15 0 + 1 5 - 0 5

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = 4 15 2 5 - 1 - 4 15 1 - 0

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = 4 15 4 2 - 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = 8 15 2 2 - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x = 8 15 2 2 - 1

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